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« Combien faut-il de symboles pour compter ? »
Il existe énormément de systèmes de numération différents. Certaines tribus utilisent le principe "1, 2, beaucoup".
Nous utilisons chaque jour le système décimal ( dix symboles, un pour chaque doigt ), et nous utilisions il y a quelques siècles le système des romains. Voici en rapide la présentation du système binaire qui, comme son nom l'indique, n'utilise que 2 symboles, le 0 et le 1, et qui constitue la base de l'informatique moderne. A la fin, une petite introduction au système héxadécimal, qui permet notamment de manipuler les couleurs en CSS, et qui est très utilisée pour ceux qui manipulent directement la mémoire d'un ordinateur.
Pourquoi seulement deux symboles ?
C'est simple, allumez et éteignez plusieurs fois de suite la lumière dans votre pièce...
La question la plus naturelle est : comment exprimer un nombre décimal dans le système binaire ?
L'idée de base est de décomposer ce nombre comme somme des puissances décroissantes de 2.
A l'aide des maths, on prouve que cette décomposition est unique, donc pas de risque de faire des erreurs.
Conversion de nombres
Concrètement, par exemple pour le nombre 13 :
On remarque d'abord que 13 est compris entre  et  , donc on ne va s'intéresser qu'aux puissances de 2 inférieures à 8 :
On remarque que 13 = 8 + 4 + 1, c'est-à-dire qu'on nécessite  ,  et  dans la décomposition de 13.
Ainsi, le codage binaire de 13 est 1101.
Exercice :
- Que valent les nombres suivants, codés en binaire, dans notre système décimal :
110011 ; 101110 ; 1000001 ; 111111001 ?
- Ecrire les nombres suivant en binaire :
189 ; 412 ; 1025 ; 8888.
- Convertir les 4 nombres binaires suivants en décimal :
Nombre 1 : 0000 Nombre 2 : 0001100110 Nombre 3 : 0000111101 Nombre 4 : 00001001
- Convertir les 4 nombres décimaux suivants en binaire :
Nombre 1 : 4760 Nombre 2 : 821 Nombre 3 : 597 Nombre 4 : 8046
Exercice : Savez vous effectuer les opérations de base sur les binaires ?
Cela n'a rien d'évident, mais essayer de découvrir comment fonctionnent les opérations suivantes en binaire.
Au pire, il faudra convertir les nombres en décimal pour vérifier les résultats  .
Conversion de mots
Grâce au codage ASCII, chaque lettre est représentée par un nombre décimal comme l'indique le tableau ci-dessous :
| A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
| 65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
| a |
b |
c |
d |
e |
f |
g |
h |
i |
j |
k |
l |
m |
n |
o |
p |
q |
r |
s |
t |
u |
v |
w |
x |
y |
z |
| 97 |
98 |
99 |
100 |
101 |
102 |
103 |
104 |
105 |
106 |
107 |
108 |
109 |
110 |
111 |
112 |
113 |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
119 |
120 |
121 |
122 |
Il faut bien faire attention à la casse : les lettres majuscules et minuscules n'ont pas le même code ASCII.
Par exemple la lettre "A" est codée par 65 et "a" par 97.
Cela ne s'applique pas seulement aux lettres, mais aussi à tous les caractères imprimables.
Maintenant qu'on a attribué une valeur décimale aux lettres, il suffit de convertir cette valeur décimale en binaire.
Exercice :
Vous trouvez ci-dessous des valeurs binaires, chaque ligne représentant une lettre d'un mot, en lisant le mot de haut en bas.
Pourrez-vous retrouver ce mot à l'aide du tableau ci-dessus ?
Mot n° 0:
1ère lettre : 1100010
2ème lettre : 1101001
3ème lettre : 1101110
4ème lettre : 1100001
5ème lettre : 1101001
6ème lettre : 1110010
7ème lettre : 1100101
Autres systèmes classiques
- nous utilisons tous les jours le système sexagésimal, c'est-à-dire en base 60, c'est le système horaire,
- le système hexadécimal, en base 16, est utilisé notamment pour désigner les couleurs en informatique.
Je termine avec une expression que j'aime bien :
"Il y a 10 sortes de gens, ceux qui connaissent le binaire, et ceux qui ne le connaissent pas." |
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